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Nella mwcgmatematica, un mwcwintero mwda b {\displaystyle b} è un mwdqdivisore di un intero mwdg a {\displaystyle a} se esiste un intero mwdw c {\displaystyle c} tale che mwea a = b ⋅ ⋅ c {\displaystyle a=b\cdot c} . Ad esempio, 7 è un divisore di 42 in quanto mweq 42 = 7 ⋅ ⋅ 6 {\displaystyle 42=7\cdot 6} . Si dice anche che mweg7 divide 42, o che mwew42 è divisibile per 7 o che mwfa42 è un mwfqmultiplo di 7, e si scrive mwfg 7 ∣ ∣ 42 {\displaystyle 7\mid 42} . I divisori possono essere sia positivi che negativi. I divisori positivi di 42 sono {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0. I numeri divisibili per 2 si chiamano mwgapari, mentre quelli che non lo sono si chiamano mwgqdispari. Il nome è legato al fatto che l'intero non nullo mwgg b {\displaystyle b} divide l'intero mwgw a {\displaystyle a} se e solo se nella mwhadivisione con resto di mwhq a {\displaystyle a} per mwhg b {\displaystyle b} il resto è zero.

• Regole per piccoli divisori

• Proprietà

• Ulteriori informazioni

• Numeri primi

• Numeri perfetti, difettivi, abbondanti

• Numero di divisori

• Relazione indotta dalla divisibilità

• Regole generali di divisibilità

• Generalizzazioni

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Esistono alcune regole utili per capire semplicemente alcuni piccoli divisori di un numero guardando le sue cifre decimali:

• Un numero è divisibile per mwka2 mwkqse e solo se l'ultima cifra è 0, 2, 4, 6 oppure 8, cioè se è un mwkgnumero pari. mwkwEsempio: 45 è un numero dispari, quindi non è divisibile per due, mentre 1478 è pari, ossia è divisibile per due.

• Un numero è divisibile per mwlq3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di tre. Nel caso il risultato dovesse essere maggiore di 9, si sommano le due o più cifre del risultato e si stabilisce se tale somma è o meno multipla di tre. mwlgEsempio: La somma delle cifre che compongono il numero 213 è 6, quindi 213 è divisibile per tre. Nel caso di 579, invece, la somma risulta essere 21. Visto che 2 + 1 fa tre, anche 579 è divisibile per tre.

• Un numero è divisibile per mwma4 se il numero formato dalle sue due ultime cifre è un multiplo di 4 oppure se le sue ultime due cifre sono due zeri. mwmqEsempio: Il numero 144 termina con le cifre 44, e, visto che il quattro divide il 44, il numero 144 è divisibile per 4. Anche 500 è divisibile per quattro.

• Un numero è divisibile per mwmw5 se l'ultima cifra è 0 oppure 5. mwnaEsempio: Sia 5025 che 19830 sono divisibili per 5, al contrario di 783.

• Un numero è divisibile per mwng6 se è divisibile sia per 2 che per 3 (vedi sopra). mwnwEsempio: Il numero 96 è divisibile sia per 2 sia per 3, e quindi è divisibile anche per 6.

• Un numero è divisibile per mwoq7 se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra il risultato è divisibile per 7 (ad esempio, 364 è divisibile per sette in quanto 36-2×4 = 28, che è divisibile per 7). Se il numero è troppo grande, è possibile dividerlo in gruppi di tre cifre dalla destra alla sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo (ad esempio, invece di 1.048.576 è possibile fare la prova su 576-048+1 = 529, che non è divisibile per sette in quanto 52-18 = 34 non lo è). Un numero può anche essere divisibile per 7 se lo è la somma fra il triplo delle cifre che precedono la cifra finale di un numero e la sua cifra finale (prendiamo il numero 380233, esso è divisibile per 7 perché 38023 x 3 + 3 è uguale a un numero divisibile per 7).

• Un numero è divisibile per mwow8 se il numero dato dalle ultime tre cifre lo è.

• Un numero è divisibile per mwpq9 se la somma delle sue cifre rappresenta un multiplo di nove.

• Un numero è divisibile per mwpw10 se la sua ultima cifra è 0.

• Un numero è divisibile per mwqq11 se, eseguita la somma fra le cifre in una posizione pari e quelle in una posizione dispari, la differenza tra il maggiore e il minore di questi risultati è a sua volta divisibile per 11. mwqgEsempio: Nel numero 4257, si devono sommare le cifre che occupano una posizione dispari (1° e 3°, in questo caso), ovvero 4 e 5, con quelle che occupano una posizione pari (in questo caso, solo la 2ª e la 4ª cifra), ovvero 2 e 7. La somma delle cifre che occupano una posizione dispari è 9, quella delle cifre in un posto pari è ugualmente 9. La differenza è quindi uguale a zero (che è divisibile per 11).

• Un numero è divisibile per mwra12 se è divisibile sia per 3 che per 4.

• Un numero è divisibile per mwrg13 se sottraendo 9 volte l'ultima cifra dal numero privato di questa il risultato è divisibile per 13 (ad esempio 858 lo è in quanto 85-9×8 = 13, che chiaramente è divisibile per 13). Il metodo della divisione dei grandi numeri in gruppi di tre cifre, spiegato a proposito della divisibilità per 7, funziona anche in questo caso. Un numero può essere divisibile per 13 anche se lo è la somma fra il quadruplo della cifra finale di un numero e tutte le cifre che precedono questa (ad esempio, 123071 è divisibile per 13 perché lo è 1 x 4 + 1+2+3+0+7).

• Un numero è divisibile per mwsa14 se è divisibile sia per 2 sia per 7.

• Un numero è divisibile per mwsg15 se è divisibile sia per 3 sia per 5.

• Un numero è divisibile per mwta17 se la differenza (presa in mwtqvalore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 (numeri con più di due cifre), oppure se in esso la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 5 è uguale a 0, 17 o un multiplo di 17.

• Un numero è divisibile per mwtw19, dopo averlo scomposto nella forma mwua 100 a + b {\displaystyle 100a+b} , solo se è divisibile mwuq a + 4 b {\displaystyle a+4b} , oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7).

• Un numero è divisibile per mwuw20, se l'ultima cifra è 0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.

• Un numero è divisibile per mwvq23 se è divisibile per 23 la somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16).

• Un numero è divisibile per mwvw25 se (e solo se) le sue ultime 2 cifre sono 00, 25, 50 o 75.

• Un numero è divisibile per mwwq29 se (e solo se) lo è anche la cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7 x 26).

Alcune proprietà fondamentali:

• mwxga | mwxwa (riflessiva);

• se mwyqa | mwygb e mwywb | mwzaa, allora mwzqa = mwzgb o mwzwa = mwaa − − {\displaystyle -} mwaqb (antisimmetrica a meno del segno);

• se mwawa | mwbab e mwbqb | mwbgc, allora mwbwa | mwcac (transitiva);

• se mwcgd | mwcwa e mwdad | mwdqb, allora mwdgd | (mwdwa + mweab), più in generale mweqd | (mwegam + bn) per ogni mwewm e mwfan interi, e mwfqd | MCD(mwfga,mwfwb);

• se mwgqa | mwggc e mwgwb | mwhac, allora mcm(mwhqa,mwhgb) | mwhwc.

Un divisore positivo di mwign diverso da mwiwn stesso è chiamato mwjadivisore proprio.

Un intero mwjwn > 1 il cui unico divisore proprio è 1 viene chiamato mwkanumero primo.

Qualunque divisore positivo di mwkgn è un prodotto di mwkwfattori primi di mwlan elevati ad una qualche potenza (non superiore a quella presente nella mwlqfattorizzazione di mwlgn stesso). Questa è una conseguenza del mwlwteorema fondamentale dell'aritmetica.

Un numero uguale alla somma dei suoi divisori propri è detto mwmwnumero perfetto. I numeri minori della somma sono detti mwnadifettivi, quelli maggiori mwnqabbondanti.

Il numero totale di divisori positivi di mwoan è la mwoqfunzione moltiplicativa mwogd(mwown) (ad esempio, mwpad(42) = 8 = 2×2×2 = mwpqd(2)×mwpgd(3)×mwpwd(7)). La somma dei divisori positivi di mwqan è un'altra funzione moltiplicativa σ(mwqqn) (ad esempio, σ(42) = 96 = 3×4×8 = σ(2)×σ(3)×σ(7)).

Notiamo che se un numero mwqw p {\displaystyle p} è primo allora ha due divisori, mwra p 2 {\displaystyle p^{2}} ha tre divisori, ecc. In generale mwrq p M {\displaystyle p^{M}} ha mwrg M + 1 {\displaystyle M+1} divisori. Quindi se la mwrwfattorizzazione prima di mwsan è data da:

mwsw n = p 1 ν ν 1 p 2 ν ν 2 … … p M ν ν M . {\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\,\ldots \,p_{M}^{\nu _{M}}.}

Allora il numero di divisori positivi di mwtqn è:

mwua d ( n ) = ( ν ν 1 + 1 ) ( ν ν 2 + 1 ) … … ( ν ν M + 1 ) {\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\ldots (\nu _{M}+1)}

ed ogni divisore è nella forma:

mwva p 1 μ μ 1 p 2 μ μ 2 … … p M μ μ M , {\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\,\ldots \,p_{M}^{\mu _{M}},}

dove:

mwwa ∀ ∀ i : 0 ≤ ≤ μ μ i ≤ ≤ ν ν i , i = 1 , 2 , … … , M . {\displaystyle \forall i:0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i},\qquad i=1,2,\ldots ,M.}

Ad esempio poiché

mwxa 36000 = 2 5 ⋅ ⋅ 3 2 ⋅ ⋅ 5 3 , {\displaystyle 36000=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3},}

allora

mwya d ( 36000 ) = ( 5 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) = 6 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 4 = 72 {\displaystyle d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3\cdot 4=72}

e quindi 36000 ha 72 divisori.

Da queste considerazioni si può dimostrare che un numero ha una quantità dispari di divisori se e solo se è un mwywquadrato perfetto.

La relazione | di divisibilità rende l'insieme mwzg N {\displaystyle \mathbb {N} } degli interi non negativi un mwzwinsieme parzialmente ordinato, precisamente un mw0areticolo completamente distributivo. Il più grande elemento di questo reticolo è 0 ed il più piccolo è 1. L'operazione mw0q ∧ ∧ {\displaystyle \wedge } è rappresentata dal mw0gmassimo comun divisore mentre la mw0w ∨ ∨ {\displaystyle \vee } dal mw1aminimo comune multiplo. Questo reticolo è isomorfo al duale del reticolo dei mw1qsottogruppi del mw1ggruppo ciclico infinito mw1w Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

Se un intero mw2gn è scritto in mw2wbase mw3ab e mw3qd è un intero tale che mw3gb ≡ 1 (mw3wmod mw4ad), allora mw4qn è divisibile per mw4gd se e solo se anche la somma delle sue cifre in base mw4wb lo è. Le regole date sopra per mw5ad=3 e mw5qd=9 sono casi speciali di questo (mw5gb=10).

Possiamo generalizzare ulteriormente questo metodo per trovare come controllare, in qualsiasi base, la divisibilità di qualsiasi intero per un qualsiasi intero minore; cioè, determinare se mw6ad | mw6qa in base mw6gb. Per prima cosa cerchiamo una coppia di interi (mw6wn, mw7ak) tali che mw7qbmw7gmw7wn ≡ mw8ak (mod mw8qd). Adesso, invece di sommare le cifre, prendiamo mw8ga (che ha mw8wm cifre) e moltiplichiamo le prime mw9am-mw9qn cifre per mw9gk ed aggiungiamo il prodotto alle ultime mw9wk cifre, e ripetiamo se necessario. Se il risultato è un multiplo di mw-ad allora anche il numero originario è divisibile per mw-qd. Qualche esempio:

Poiché 10mw-w3 ≡ 1 (mod 37) (mw-ab=10, mw-qn=3, mw-gk=1, mw-wd=37) allora il numero mwaqaa=1523836638 si può dimostrare divisibile per 37 in quanto: 1523836×1+638=1524474, 1524×1+474=1998, 1×1+998=999 (o, più semplicemente, visto che in questo caso mwaqek=1: 1+523+836+638=999); e 999 è divisibile per 37 per la conguenza vista sopra.

Ancora, 10mwaqm2 ≡ 2 (mod 7) (mwaqqb=10, mwaqun=2, mwaqyk=2, mwaqcd=7), se mwaqga=43106 otteniamo 431×2+06=868; ripetiamo: 8×2+68 = 84 che è un multiplo di 7. Si noti che non c'è una terna (mwaqkn, mwaqok, mwaqsd) unica; difatti, avremmo potuto usare anche 10 ≡ 3 (mod 7) e quindi 1293×3 + 6 = 3885, 388×3 + 5 = 1169, 116×3 + 9 = 357, 35×3 + 7 = 112, 11×3 + 2 = 35, 3×3 + 5 = 14 ed infine 1×3 + 4 = 7. Naturalmente questo non è sempre efficiente ma si noti che ogni numero della serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) è un multiplo di 7 e spesso si trovano multipli identificabili banalmente. Questo metodo non è necessariamente utile per alcuni numeri (ad esempio 10mwaqw4 ≡ 4 (mod 17) è il primo mwaq0n dove mwaq4k < 10) ma si presta a calcoli veloci in altri casi dove mwaq8n e mwarak sono relativamente piccoli.

Si potrebbe parlare del concetto di divisibilità in ogni mwarmdominio d'integrità. Vedi la voce relativa per una definizione in questo contesto.

• mwarcTavola dei fattori primi: una tavola con la fattorizzazione di numeri da 1 a 1000

• Tavola dei divisori: una tavola con i divisori sia primi che non primi dei numeri da 1 a 1000

• mwaroCriteri di divisibilità

• mwarwNumero primo

• mwar4Funzione phi di Eulero

• mwasaDivisione euclidea

• citereftreccani-itDivisore, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisicheDivisore, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

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• citerefsapere-itdivisóre, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematicaDivisore, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Divisor, su MathWorld, Wolfram Research.

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• mwasy(EN) criteri di divisibiltà, su cut-the-knot.org.

• mwasg(EN) divisibilità per 9 e per 11, su cut-the-knot.org.

• mwasodivisibiltà per 7, su cut-the-knot.org.

• mwaswdivisibiltà per 81, su cut-the-knot.org.

• mwas4calcolatore di fattori — calcolatore che mostra i fattori primi o i divisori di un numero dato

• mwata(EN) Fattorizzazione di grandi numeri con il metodo delle curve ellittiche (accetta anche le espressioni) - Sito personale di Dario Alpern, su alpertron.com.ar.

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